内縁関係の妻は、内縁関係の夫の遺産を相続できますか？

配偶者が相続人となるには、戸籍上の婚姻関係にあることが必要ですので、内縁関係などでは、相続人となることができません。

内縁関係にあった者などは、特別縁故者への財産分与が認められるケースもありますが、特別縁故者への財産分与が認められるには、前提条件として被相続人に相続人がいない事が必要です。あなたのケースでは、パートナーの方に、お子さんが3人いるとの事ですので、通常であれば、お子さん達が相続人となり、あなたは相続人になれない事になってしまいます。

対応策としては、正式に結婚する事が望ましいでしょう。
戸籍上の夫婦関係になれば、あなたのケースでは、被相続人の2分の1を相続することができます。
それが無理な場合は、遺言書で遺贈の指定をしてもらうことが必要です。
その場合は、お子さん達との対立が考えられますので、トラブル防止の為にも、公正証書遺言で作成されることをお勧め致します。